7.Hypothesentests - Revision history

Pge: /* Aufgabe 1 */

2021-02-04T11:52:23Z

Aufgabe 1

← Older revision		Revision as of 13:52, 4 February 2021
Line 4:		Line 4:
	'''a''': Was misst ein t-Test und wie wird dieser berechnet? Was bedeutet der p-Wert?		'''a''': Was misst ein t-Test und wie wird dieser berechnet? Was bedeutet der p-Wert?

	Der t-Test ist eine Methode der statistischen Analyse, bei der man testet ob ein Mittelwert einer Stichprobe von dem Erwartungswert der Grundgesamtheit abhängt. Mit Varianten des t-Tests kann man außerdem Nullhypothesen(H0) überprüfen, ob zwei oder mehr Stichproben derselben Gesamtheit entspringen oder sich dafür zu signifikant unterscheiden. Der p-Wert ist eine Wahrscheinlichkeit und gibt hierbei das minimale Signifikanzniveau an, bei dem H0 nicht mehr gilt. Der p-Wert ist außerdem die Wahrscheinlichkeit mit der Stichproben zufällig die H0-Hypothese ablehnen.		Der t-Test ist eine Methode der statistischen Analyse, bei der man testet ob ein Mittelwert einer Stichprobe von dem Erwartungswert der Grundgesamtheit abhängt. Mit Varianten des t-Tests kann man außerdem in Nullhypothesen(H0) überprüfen, ob zwei oder mehr Stichproben derselben Gesamtheit entspringen oder sich dafür zu signifikant unterscheiden. Der p-Wert ist eine Wahrscheinlichkeit und gibt hierbei das minimale Signifikanzniveau an, bei dem H0 nicht mehr gilt. Der p-Wert ist außerdem die Wahrscheinlichkeit mit der Stichproben zufällig die H0-Hypothese ablehnen.

	Für einen t-Test müssen zunächst Mittelwert, Standardabweichung und Freiheitsgrade für alle Stichproben berechnet werden.		Für einen t-Test müssen zunächst Mittelwert, Standardabweichung und Freiheitsgrade für alle Stichproben berechnet werden.

Mka: /* Aufgabe 2 */

2021-01-31T18:46:10Z

Aufgabe 2

← Older revision		Revision as of 20:46, 31 January 2021
Line 34:		Line 34:
	== Aufgabe 2 ==		== Aufgabe 2 ==

	'''a''': Welches statistische Problem tritt auf, wenn man eine statistische Signifikanz zwischen ~~zwei~~		'''a''': Welches statistische Problem tritt auf, wenn man eine statistische Signifikanz zwischen zweiBedingungen für viele Gene testet?
	~~Bedingungen~~ für viele Gene testet?
			*Je mehr Gene getestet werden, desto größer ist die Chance einen falsch- positiven zu detektieren
			* Der p-Wert muss angeglichen werden um aussagekräftige Ergebnisse zu bekommen (Bsp. BonferroniKorrektur oder Benjamini-Hochberg Prozedur)
			* Beispiel: Bei einem Signifikanzniveau von 5% und 1000 Proben, gibt es rein statistisch die Wahrscheinlichkeit, das 50 Proben fälschlicherweise als signifikant gelten.

	Problematisch ist, dass sich Fehler 1. Art (auch alpha-Fehler) anhäufen können. Dies tritt auf wenn bei einer Probe H0 wahr ist, jedoch der Test H1 (nicht signifikant bzw falsch) feststellt. Dies ist dem Zufall geschuldet, da manchmal der p-Wert einfach dadurch unter das Signifikanzniveau fallen kann. Um dies zu vermeiden, kann man das Signifikanzniveau adjustieren.

	'''b''': Was sind die Unterschiede zwischen der Prozedur nach Benjamini-Hochberg und der		'''b''': Was sind die Unterschiede zwischen der Prozedur nach Benjamini-Hochberg und der
	Bonferroni-Korrektur?		Bonferroni-Korrektur?

	~~Bei der~~ Bonferroni ~~Korrektur wird der p-Wert aller Merkmale mit der Anzahl der Merkmale multipliziert~~, ~~somit normalisiert man den p~~-~~Wert auf die Anzahl der Merkmale. Dies ist eine einfach Methode allerdings kann sie zu vielen Fehlern 2. Art führen~~ (~~falsch~~ negative).		Bonferroni
	~~statistisch sehr sicher~~ (~~Goldstandard~~), ~~aber sehr streng~~		* Statistisch sehr sicher, aber sehr streng
			* Einfach zu berechnen/ programmieren
			* Produziert viele falsch-negative Werte (FN-false negative)
			Benjamini-Hochberg
			* Weniger streng, höhere Chance auf verwertbare Ergebnisse
			* Komplizierter zu programmieren
			* Je kleiner FDR (false discovery rate) gewählt wird, desto näher kommt das Ergebnis an die korrigierten P-Werte von Bonferroni heran


	Bei der Benjamini-Hochberg Prozedur wird die False Discovery Rate (FDR oder Q) zusätzlich einbezogen. Anschließend werden die Werte sortiert und der kritische Wert wird bestimmt. Alle Werte die einen p-Wert kleiner als den kritischen Wert besitzen werden als signifikant betrachtet. Je kleiner die FDR ist, desto mehr nähern sich die Ergebnisse denen der Bonferroni Korrektur an.
	~~valider statistischer Test, weniger false negative~~

	'''c''': Wie funktioniert die Bonferroni-Korrektur?		'''c''': Wie funktioniert die Bonferroni-Korrektur?
Line 60:		Line 65:

	Danach vergleicht man die korrigierten Werte mit dem Signifikanzniveau. Wenn der Wert kleiner ist als das Niveau, dann ist der Wert signifikant.		Danach vergleicht man die korrigierten Werte mit dem Signifikanzniveau. Wenn der Wert kleiner ist als das Niveau, dann ist der Wert signifikant.


	'''d''': Wie funktioniert die Benjamini-Hochberg Prozedur?		'''d''': Wie funktioniert die Benjamini-Hochberg Prozedur?
Line 76:		Line 82:

	- der größte p-Wert der kleiner als der kritische BH Wert ist, ist der Wert ab dem alle p-Werte aufwärts H0 ablehnen, somit signifikant sind.		- der größte p-Wert der kleiner als der kritische BH Wert ist, ist der Wert ab dem alle p-Werte aufwärts H0 ablehnen, somit signifikant sind.


	'''e''': Bei der Analyse von Metaboliten im Blut von Patienten mit Niereninsuffizienz ist folgende		'''e''': Bei der Analyse von Metaboliten im Blut von Patienten mit Niereninsuffizienz ist folgende
Line 83:		Line 90:
	Unterschiede!		Unterschiede!

	Bonferroni-Methode		'''Bonferroni-Methode''':

	{\| class="wikitable sortable"		{\| class="wikitable sortable"
Line 172:		Line 179:
	mit den p-Werten hat man die p*-Werte berechnet und dann mit dem Signifikanzniveau 0.05 verglichen. Der einzig signifikante Wert ist C-mannoysltryptophan.		mit den p-Werten hat man die p*-Werte berechnet und dann mit dem Signifikanzniveau 0.05 verglichen. Der einzig signifikante Wert ist C-mannoysltryptophan.

	Benjamini-Hochberg Prozedur:		'''Benjamini-Hochberg Prozedur:'''

	{\| class="wikitable sortable"		{\| class="wikitable sortable"
Line 259:		Line 266:
	\|}		\|}

	Hier ist der Cutoff bei Rang 4. Dieser Wert und alle darüber sind somit signifikant.		Hier ist der Cutoff bei Rang 4. Dieser Wert und alle darüber sind somit signifikant.

			Unterschiede: Durch BH werden deutlich mehr Metabolite als signifikant eingestuft, der Aufwand ist jedoch größer. Bonferroni liefert eindeutige Ergebnisse (signifikante Metabolite von Bonferroni sind immer in den signifikanten Metaboliten von BH enthalten).

Pge: /* Aufgabe 2 */

2020-10-05T10:02:11Z

Aufgabe 2

← Older revision		Revision as of 12:02, 5 October 2020
Line 37:		Line 37:
	Bedingungen für viele Gene testet?		Bedingungen für viele Gene testet?

	Problematisch ist, dass sich Fehler 1. Art (auch alpha-Fehler) anhäufen können. Dies tritt auf wenn bei einer Probe H0 wahr ist, jedoch der Test H1 (nicht signifikant bzw falsch) feststellt. Dies ist dem Zufall geschuldet, da manchmal der p-Wert einfach dadurch unter das Signifikanzniveau fallen kann. Um dies zu vermeiden kann man das Signifikanzniveau adjustieren.		Problematisch ist, dass sich Fehler 1. Art (auch alpha-Fehler) anhäufen können. Dies tritt auf wenn bei einer Probe H0 wahr ist, jedoch der Test H1 (nicht signifikant bzw falsch) feststellt. Dies ist dem Zufall geschuldet, da manchmal der p-Wert einfach dadurch unter das Signifikanzniveau fallen kann. Um dies zu vermeiden, kann man das Signifikanzniveau adjustieren.

	'''b''': Was sind die Unterschiede zwischen der Prozedur nach Benjamini-Hochberg und der		'''b''': Was sind die Unterschiede zwischen der Prozedur nach Benjamini-Hochberg und der

Pge: /* Aufgabe 2 */

2020-10-04T10:19:05Z

Aufgabe 2

← Older revision		Revision as of 12:19, 4 October 2020
Line 61:		Line 61:
	Danach vergleicht man die korrigierten Werte mit dem Signifikanzniveau. Wenn der Wert kleiner ist als das Niveau, dann ist der Wert signifikant.		Danach vergleicht man die korrigierten Werte mit dem Signifikanzniveau. Wenn der Wert kleiner ist als das Niveau, dann ist der Wert signifikant.

	'''d''' Wie funktioniert die Benjamini-Hochberg Prozedur?		'''d''': Wie funktioniert die Benjamini-Hochberg Prozedur?

	Die Prozedur folgt den folgenden Schritten:		Die Prozedur folgt den folgenden Schritten:
Line 77:		Line 77:
	- der größte p-Wert der kleiner als der kritische BH Wert ist, ist der Wert ab dem alle p-Werte aufwärts H0 ablehnen, somit signifikant sind.		- der größte p-Wert der kleiner als der kritische BH Wert ist, ist der Wert ab dem alle p-Werte aufwärts H0 ablehnen, somit signifikant sind.

	'''e''' Bei der Analyse von Metaboliten im Blut von Patienten mit Niereninsuffizienz ist folgende		'''e''': Bei der Analyse von Metaboliten im Blut von Patienten mit Niereninsuffizienz ist folgende
	Tabelle entstanden. Zeige, welche der nachfolgenden p-Werte der Metabolite nach		Tabelle entstanden. Zeige, welche der nachfolgenden p-Werte der Metabolite nach
	Benjamini-Hochberg als Signifikant angesehen werden können (α = 0,05). Zeige, welche		Benjamini-Hochberg als Signifikant angesehen werden können (α = 0,05). Zeige, welche
Line 170:		Line 170:
	\|}		\|}

	mit den p-Werten hat man die p*-Werte berechnet und dann mit dem Signifikanzniveau 0.05 verglichen. Der signifikante Wert ist C-mannoysltryptophan.		mit den p-Werten hat man die p*-Werte berechnet und dann mit dem Signifikanzniveau 0.05 verglichen. Der einzig signifikante Wert ist C-mannoysltryptophan.

	Benjamini-Hochberg Prozedur:		Benjamini-Hochberg Prozedur:

Pge: /* Aufgabe 2 */

2020-10-04T10:17:02Z

Aufgabe 2

Pge at 10:14, 4 October 2020

2020-10-04T10:14:46Z

← Older revision		Revision as of 12:14, 4 October 2020
Line 27:		Line 27:

	Students t-Test sollte nur angewendet werden, wenn die Grundgesamtheiten die gleiche Varianz		Students t-Test sollte nur angewendet werden, wenn die Grundgesamtheiten die gleiche Varianz
	aufweisen. Wenn dies der Fall ist sollte der Welch-Test verwendet werden.		aufweisen. Wenn dies der Fall ist, sollte der Welch-Test verwendet werden.

	Student´s t- test - Gleiche Varianz der Stichproben		Student´s t- test - Gleiche Varianz der Stichproben
Line 34:		Line 34:
	== Aufgabe 2 ==		== Aufgabe 2 ==

	a) Welches statistische Problem tritt auf, wenn man eine statistische Signifikanz ~~zw.~~ zwei		'''a''': Welches statistische Problem tritt auf, wenn man eine statistische Signifikanz zwischen zwei
	Bedingungen für viele Gene testet?		Bedingungen für viele Gene testet?

	Problematisch ist, dass sich Fehler 1. Art (auch alpha-Fehler) anhäufen können. Dies tritt auf wenn bei einer Probe H0 wahr ist, jedoch der Test H1 feststellt. Dies ist dem Zufall geschuldet, da manchmal der p-Wert einfach dadurch unter das Signifikanzniveau fallen kann. Um dies zu vermeiden kann man das Signifikanzniveau adjustieren.		Problematisch ist, dass sich Fehler 1. Art (auch alpha-Fehler) anhäufen können. Dies tritt auf wenn bei einer Probe H0 wahr ist, jedoch der Test H1 (nicht signifikant bzw falsch) feststellt. Dies ist dem Zufall geschuldet, da manchmal der p-Wert einfach dadurch unter das Signifikanzniveau fallen kann. Um dies zu vermeiden kann man das Signifikanzniveau adjustieren.

	b) Was sind die Unterschiede zwischen der Prozedur nach Benjamini-Hochberg und der		'''b''': Was sind die Unterschiede zwischen der Prozedur nach Benjamini-Hochberg und der
	Bonferroni-Korrektur?		Bonferroni-Korrektur?

	Bei der Bonferroni Korrektur wird der p-Wert aller Merkmale mit der Anzahl der Merkmale multipliziert, somit ~~normaisiert~~ man den p-Wert auf die Anzahl der Merkmale. Dies ist eine leichtere Methode allerdings kann sie zu ~~mehreren~~ Fehlern 2. Art führen.		Bei der Bonferroni Korrektur wird der p-Wert aller Merkmale mit der Anzahl der Merkmale multipliziert, somit normalisiert man den p-Wert auf die Anzahl der Merkmale. Dies ist eine leichtere Methode allerdings kann sie zu vielen Fehlern 2. Art führen (falsch negative).
			statistisch sehr sicher (Goldstandard), aber sehr streng


	Bei der Benjamini-Hochberg Prozedur wird die False Discovery Rate (FDR oder Q) zusätzlich einbezogen. Anschließend werden die Werte sortiert und der kritische Wert wird bestimmt. Alle Werte die einen p-Wert kleiner als den kritischen Wert besitzen werden als signifikant betrachtet. Je kleiner die FDR ist, desto mehr nähern sich die Ergebnisse denen der Bonferroni Korrektur an.		Bei der Benjamini-Hochberg Prozedur wird die False Discovery Rate (FDR oder Q) zusätzlich einbezogen. Anschließend werden die Werte sortiert und der kritische Wert wird bestimmt. Alle Werte die einen p-Wert kleiner als den kritischen Wert besitzen werden als signifikant betrachtet. Je kleiner die FDR ist, desto mehr nähern sich die Ergebnisse denen der Bonferroni Korrektur an.
			valider statistischer Test, mit weniger false negative

	c) Wie funktioniert die Bonferroni-Korrektur?		'''c''': Wie funktioniert die Bonferroni-Korrektur?

	Zuerst berechnet man den korrigierten p-Wert mit folgender Formel:		Zuerst berechnet man den korrigierten p-Wert mit folgender Formel:

Pge: /* Aufgabe 1 */

2020-10-04T10:07:49Z

Aufgabe 1

← Older revision		Revision as of 12:07, 4 October 2020
Line 2:		Line 2:
	== Aufgabe 1 ==		== Aufgabe 1 ==

	a) Was misst ein t-Test und wie wird dieser berechnet? Was bedeutet der p-Wert?		'''a''': Was misst ein t-Test und wie wird dieser berechnet? Was bedeutet der p-Wert?

	Der t-Test ist eine Methode der statistischen Analyse, bei der man testet ob ein Mittelwert einer Stichprobe von dem Erwartungswert der Grundgesamtheit abhängt. Mit Varianten des t-Tests kann man außerdem Nullhypothesen(H0) überprüfen, ob zwei oder mehr Stichproben derselben Gesamtheit entspringen oder sich dafür zu signifikant unterscheiden. Der p-Wert ist eine Wahrscheinlichkeit und gibt hierbei das minimale Signifikanzniveau an, bei dem H0 nicht mehr gilt. Der p-Wert ist außerdem die Wahrscheinlichkeit mit der Stichproben zufällig die H0-Hypothese ablehnen.		Der t-Test ist eine Methode der statistischen Analyse, bei der man testet ob ein Mittelwert einer Stichprobe von dem Erwartungswert der Grundgesamtheit abhängt. Mit Varianten des t-Tests kann man außerdem Nullhypothesen(H0) überprüfen, ob zwei oder mehr Stichproben derselben Gesamtheit entspringen oder sich dafür zu signifikant unterscheiden. Der p-Wert ist eine Wahrscheinlichkeit und gibt hierbei das minimale Signifikanzniveau an, bei dem H0 nicht mehr gilt. Der p-Wert ist außerdem die Wahrscheinlichkeit mit der Stichproben zufällig die H0-Hypothese ablehnen.
Line 22:		Line 22:
	Der berechnete Wert, wird dann in einer T-Tabelle nachgeschlagen und verglichen. Bevor man einen Wert heraussuchen kann muss ein Signifikanzniveau festgelegt werden, über dem H0 abgelehnt wird, z.B. 0,05. Dann kann man in der Tabelle den Referenz-t-Wert finden und wenn der berechnete t-Wert über dem Referenzwert ist, dann unterscheiden sich die Stichproben signifikant und können nicht als zwei Stichproben aus der gleichen Grundgesamtheit angesehen werden.		Der berechnete Wert, wird dann in einer T-Tabelle nachgeschlagen und verglichen. Bevor man einen Wert heraussuchen kann muss ein Signifikanzniveau festgelegt werden, über dem H0 abgelehnt wird, z.B. 0,05. Dann kann man in der Tabelle den Referenz-t-Wert finden und wenn der berechnete t-Wert über dem Referenzwert ist, dann unterscheiden sich die Stichproben signifikant und können nicht als zwei Stichproben aus der gleichen Grundgesamtheit angesehen werden.

	~~b) Wie unterscheiden sich Student‘s t-Test und Welch‘s t-Test?~~

	Students t-Test sollte nur angewendet werden wenn die ~~Grundgeamtheiten~~ die gleiche Varianz
	aufweisen. Wenn dies der Fall ist sollte der Welch-Test verwendet werden.		'''b''': Wie unterscheiden sich Student‘s t-Test und Welch‘s t-Test?

			Students t-Test sollte nur angewendet werden, wenn die Grundgesamtheiten die gleiche Varianz
			aufweisen. Wenn dies der Fall ist sollte der Welch-Test verwendet werden.

			Student´s t- test - Gleiche Varianz der Stichproben
			Welch´s t- test - Ungleiche Varianz der Stichproben

	== Aufgabe 2 ==		== Aufgabe 2 ==

Pge at 10:05, 4 October 2020

2020-10-04T10:05:15Z

← Older revision		Revision as of 12:05, 4 October 2020
Line 4:		Line 4:
	a) Was misst ein t-Test und wie wird dieser berechnet? Was bedeutet der p-Wert?		a) Was misst ein t-Test und wie wird dieser berechnet? Was bedeutet der p-Wert?

	Der t-Test ist eine Methode der statistischen Analyse, bei der man testet ob ein Mittelwert einer Stichprobe von dem Erwartungswert der Grundgesamtheit abhängt. Mit Varianten des t-Tests kann man außerdem Nullhypothesen(H0) überprüfen ob zwei oder mehr Stichproben derselben Gesamtheit entspringen oder sich dafür zu signifikant unterscheiden. Der p-Wert ist eine Wahrscheinlichkeit und gibt hierbei das minimale Signifikanzniveau an, bei dem H0 nicht mehr gilt. Der p-Wert ist außerdem die Wahrscheinlichkeit mit der Stichproben zufällig die H0-Hypothese ablehnen.		Der t-Test ist eine Methode der statistischen Analyse, bei der man testet ob ein Mittelwert einer Stichprobe von dem Erwartungswert der Grundgesamtheit abhängt. Mit Varianten des t-Tests kann man außerdem Nullhypothesen(H0) überprüfen, ob zwei oder mehr Stichproben derselben Gesamtheit entspringen oder sich dafür zu signifikant unterscheiden. Der p-Wert ist eine Wahrscheinlichkeit und gibt hierbei das minimale Signifikanzniveau an, bei dem H0 nicht mehr gilt. Der p-Wert ist außerdem die Wahrscheinlichkeit mit der Stichproben zufällig die H0-Hypothese ablehnen.

	Für einen t-Test müssen zunächst Mittelwert, Standardabweichung und Freiheitsgrade für alle Stichproben berechnet werden.		Für einen t-Test müssen zunächst Mittelwert, Standardabweichung und Freiheitsgrade für alle Stichproben berechnet werden.

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2020-10-04T09:57:24Z

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Revision as of 11:57, 4 October 2020

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2020-10-04T09:57:08Z

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Revision as of 11:57, 4 October 2020

← Older revision		Revision as of 12:17, 4 October 2020
Line 42:		Line 42:
	Bonferroni-Korrektur?		Bonferroni-Korrektur?

	Bei der Bonferroni Korrektur wird der p-Wert aller Merkmale mit der Anzahl der Merkmale multipliziert, somit normalisiert man den p-Wert auf die Anzahl der Merkmale. Dies ist eine ~~leichtere~~ Methode allerdings kann sie zu vielen Fehlern 2. Art führen (falsch negative).		Bei der Bonferroni Korrektur wird der p-Wert aller Merkmale mit der Anzahl der Merkmale multipliziert, somit normalisiert man den p-Wert auf die Anzahl der Merkmale. Dies ist eine einfach Methode allerdings kann sie zu vielen Fehlern 2. Art führen (falsch negative).
	statistisch sehr sicher (Goldstandard), aber sehr streng		statistisch sehr sicher (Goldstandard), aber sehr streng


	Bei der Benjamini-Hochberg Prozedur wird die False Discovery Rate (FDR oder Q) zusätzlich einbezogen. Anschließend werden die Werte sortiert und der kritische Wert wird bestimmt. Alle Werte die einen p-Wert kleiner als den kritischen Wert besitzen werden als signifikant betrachtet. Je kleiner die FDR ist, desto mehr nähern sich die Ergebnisse denen der Bonferroni Korrektur an.		Bei der Benjamini-Hochberg Prozedur wird die False Discovery Rate (FDR oder Q) zusätzlich einbezogen. Anschließend werden die Werte sortiert und der kritische Wert wird bestimmt. Alle Werte die einen p-Wert kleiner als den kritischen Wert besitzen werden als signifikant betrachtet. Je kleiner die FDR ist, desto mehr nähern sich die Ergebnisse denen der Bonferroni Korrektur an.
	valider statistischer Test, ~~mit~~ weniger false negative		valider statistischer Test, weniger false negative

	'''c''': Wie funktioniert die Bonferroni-Korrektur?		'''c''': Wie funktioniert die Bonferroni-Korrektur?
Line 61:		Line 61:
	Danach vergleicht man die korrigierten Werte mit dem Signifikanzniveau. Wenn der Wert kleiner ist als das Niveau, dann ist der Wert signifikant.		Danach vergleicht man die korrigierten Werte mit dem Signifikanzniveau. Wenn der Wert kleiner ist als das Niveau, dann ist der Wert signifikant.

	d) Wie funktioniert die Benjamini-Hochberg Prozedur?		'''d''' Wie funktioniert die Benjamini-Hochberg Prozedur?

	Die Prozedur folgt den folgenden Schritten:		Die Prozedur folgt den folgenden Schritten:
Line 77:		Line 77:
	- der größte p-Wert der kleiner als der kritische BH Wert ist, ist der Wert ab dem alle p-Werte aufwärts H0 ablehnen, somit signifikant sind.		- der größte p-Wert der kleiner als der kritische BH Wert ist, ist der Wert ab dem alle p-Werte aufwärts H0 ablehnen, somit signifikant sind.

	e) Bei der Analyse von Metaboliten im Blut von Patienten mit Niereninsuffizienz ist folgende		'''e''' Bei der Analyse von Metaboliten im Blut von Patienten mit Niereninsuffizienz ist folgende
	Tabelle entstanden. Zeige, welche der nachfolgenden p-Werte der Metabolite nach		Tabelle entstanden. Zeige, welche der nachfolgenden p-Werte der Metabolite nach
	Benjamini-Hochberg als Signifikant angesehen werden können (α = 0,05). Zeige, welche		Benjamini-Hochberg als Signifikant angesehen werden können (α = 0,05). Zeige, welche